03-10-2008

実践女子学園中学校-2008-3

問題

《A》はAが2で割れる回数を,【A】はAが3で割れる回数を表すものとします。
例えば,12は2で2回割れるので《12》=2,15は3で1回割れるので【15】=1となります。
また,11は2でも3でも割れないので《11》=0,【11】=0となります。
ただし,《0》,【0】はともに0とします。
@ 《288》÷【54】−《64》÷【324】を計算するといくつですか。
A 《A》と【A】が等しくなるような100以下の整数Aは全部で何個ありますか。
B 《A+B》と【A−B】が等しくなるような整数A、Bの組は全部で何組ありますか。
ただし,AとBは異なる整数で,ともに30以下の整数です。

解答

@
 2)288 
 2)144 
 2) 72 
 2) 36 
 2) 18 
     9

 3)54 
 3)18 
 3) 6 
    2

 2)64 
 2)32 
 2)16 
 2) 8 
 2) 4 
 2) 2 
    1

 3)324 
 3)108 
 3) 36 
 3) 12 
     4

したがって,
 《288》÷【54】−《64》÷【324】
=5÷3−6÷4
=5/3−3/2
=10/6−9/6
=1/6

A
《A》=【A】=0のとき,Aは2でも3でも割り切れない数です。
100以下の2の倍数は,
 100÷2=50個
100以下の3の倍数は,
 100÷3=33個あまり1
100以下の(2と3の公倍数=)6の倍数は,
 100÷6=16個あまり4
ですから,2または3で割り切れる数は,
 50+33−16=67個
2でも3でも割り切れない数は,
 100−67=33個
ただし,問題に0の場合がかかれているので0をふくめると,
 33+1=34個

《A》=【A】=1のとき,Aは(2×3)×(2でも3でも割り切れない数)です。
 6×1=6 ○
 6×5=30 ○
 6×7=42 ○
 6×11=66 ○
 6×13=78 ○
 6×17=102 ×

《A》=【A】=2のとき,Aは(2×3)×(2×3)×(2でも3でも割り切れない数)です。
 36×1=36 ○
 36×5=180 ×
したがって,
 34+5+1=40個

B
《A+B》=【A−B】=0のとき,
A+Bは奇数で,このときA−Bも奇数で,3で割り切れない数です。
A−B=1のとき,
 (A,B)=(1,0),(2,1),……,(30,29)
A−B=5のとき,
 (A,B)=(5,0),(6,1),……,(30,25)
A−B=7のとき,
 (A,B)=(7,0),(8,1),……,(30,23)
A−B=11のとき,
 (A,B)=(11,0),(12,1),……,(30,19)
A−B=13のとき,
 (A,B)=(13,0),(14,1),……,(30,17)
A−B=17のとき,
 (A,B)=(17,0),(18,1),……,(30,13)
A−B=19のとき,
 (A,B)=(19,0),(20,1),……,(30,11)
A−B=23のとき,
 (A,B)=(23,0),(24,1),……,(30,7)
A−B=25のとき,
 (A,B)=(25,0),(26,1),……,(30,5)
A−B=29のとき,
 (A,B)=(29,0),(30,1)
ですから,
 30+26+24+20+18+14+12+8+6+2=160組

《A+B》=【A−B】=1のとき,
A+Bは2×奇数で偶数ですから,このときA−Bも偶数になり,3×(3で割り切れない偶数)です。
A−B=3×2=6のとき,
 (A,B)=(6,0),(8,2),(10,4),(12,6),(14,8),(16,10),(18,12),(20,14),(22,16),(24,18),(26,20),(28,22),(30,24)
A−B=3×4=12のとき,
 (A,B)=(13,1),(15,3),(17,5),(19,7),(21,9),(23,11),(25,13),(27,15),(29,17)
A−B=3×8=24のとき,
 (A,B)=(25,1),(27,3),(29,5)
A−B=3×10=30のとき,
 (A,B)=(30,0)
ですから,
 13+9+3+1=26組

《A+B》=【A−B】=2のとき,
A+Bは2×2×奇数で偶数ですから,このときA−Bも偶数になり,3×3×(3で割り切れない偶数)です。
A−B=3×3×2=18のとき,
 (A,B)=(19,1),(23,5),(27,9)
A−B=3×3×4=36 ×

したがって,
 160+26+3=189組


posted by banyanyan at 20:19 | 京都 ☔ | Comment(5) | TrackBack(0) | 倍数 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする
この記事へのコメント
この問題を完答できた受験生は何人いたんでしょうねえ。
スマートな解説が思いつきませんでした。
Posted by banyanyan at 2008年10月08日 02:53
 これは物凄い問題ですねぇ。
とりあえず、@ー4/3、A39個、B後日。
Posted by 経友会の進作 at 2008年10月09日 23:13
 この問題は適切なものでしょうか?
B166個。
Posted by 経友会の進作 at 2008年10月10日 13:09
急いで解かれたせいでしょうか、いくつかまちがっていらっしゃるようですね。
Posted by banyanyan at 2008年10月13日 11:44
 雨の一日この問題の復習をしっかりしました。
@は324を342と読み違え、Aは0の忘れ、Bは数え
間違え。ところでこんな問題を受験生がどのくら
いの時間で解くのでしょうか?
Posted by 経友会の進作 at 2008年10月14日 17:06
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