１以上の整数の中から４個の異なる整数を選んで小さい順にＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄとし，それらを□の中に１つずつ入れて，２つの分数の和を作ります。
□／□＋□／□
例：１，３，４，７に対して１／３＋４／７，３／１＋７／４，……など。
そして，それらの分数の和を計算します。この中で一番小さい値を[１，３，４，７]で表すことにします。
このとき，次の問いに答えなさい。
(1) [１，３，４，７]の値はいくつになりますか。
(2) 次の式が正しくなるように，□の中にＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄを１つずつ入れなさい。また，その理由も書きなさい。
[Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ]＝□／□＋□／□
(3) １から８までの整数の中から４個の異なる整数を選んで小さい順にＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄとします。[Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ]の値が一番大きくなるのは，Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄをどのように選んだ場合ですか。
解答
(1)
分母が大きく，分子が小さい方が分数は小さくなりますから，分母は４，７，分子は１，３です。
１／４＋３／７＝１９／２８
１／７＋３／４＝２５／２８
したがって，１９／２８です。
(2)
分母が大きく，分子が小さい方が分数は小さくなりますから，分母はＣ，Ｄ，分子はＡ，Ｂです。この場合，
Ａ／Ｃ＋Ｂ／Ｄ
Ａ／Ｄ＋Ｂ／Ｃ
の２通りが考えられますが，
Ａ／Ｃ＋Ｂ／Ｄ＝（Ａ×Ｄ＋Ｂ×Ｃ）／（Ｃ×Ｄ）
Ａ／Ｄ＋Ｂ／Ｃ＝（Ａ×Ｃ＋Ｂ×Ｄ）／（Ｃ×Ｄ）
より，分子を比べると，Ａ×ＤはＡ×Ｃより，Ａ×（Ｄ－Ｃ）大きいですが，Ｂ×ＤはＢ×ＣよりＢ×（Ｄ－Ｃ）大きく，Ｂ×（Ｄ－Ｃ）の方がＡ×（Ｄ－Ｃ）より大きいですから，Ａ／Ｃ＋Ｂ／Ｄの方が小さいです。
したがって，
[Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ]＝Ａ／Ｃ＋Ｂ／Ｄ
(3)
１／２＞１／３＞１／４＞……＞１／８
より，分母と分子の差が小さいほど大きくなりますが，(2)より，ＡとＣ，ＢとＤの差は２以上ですから，分母と分子の差が２の場合を考えます。
１／３＜２／４＜３／５＜４／６＜５／７＜６／８
より，一番大きくなるのは，
[５，６，７，８]＝５／７＋６／８
＝４１／２８
で，Ａ＝５，Ｂ＝６，Ｃ＝７，Ｄ＝８の場合です。
(2) [Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ]＝Ａ／Ｃ＋Ｂ／Ｄ
その理由は、
①小さくするために必ず大きい数が分母となる
②Ａ／Ｂ＋Ｃ／Ｄ＝Ｃ／Ｄ＋Ａ／Ｂであるので
組み合わせは以下の３通りしかない
ア) Ａ／Ｂ＋Ｃ／Ｄ
イ) Ａ／Ｃ＋Ｂ／Ｄ
ウ) Ａ／Ｄ＋Ｂ／Ｃ
よって①②③で大きさを比べると
→あとは・・・
(3) [Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ]＝[５，６，７，８]のとき
→証明は考え中？
(2) [Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ]＝Ａ／Ｃ＋Ｂ／Ｄ
その理由は、
①小さくするために必ず大きい数が分母となる
②Ａ／Ｂ＋Ｃ／Ｄ＝Ｃ／Ｄ＋Ａ／Ｂであるので
組み合わせは以下の３通りしかない
ア) Ａ／Ｂ＋Ｃ／Ｄ
イ) Ａ／Ｃ＋Ｂ／Ｄ
ウ) Ａ／Ｄ＋Ｂ／Ｃ
よって①②③で大きさを比べると
→あとは・・・
(3) [Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ]＝[５，６，７，８]のとき
→証明は考え中
問題は暑苦しい問題、模範解答をお待ちします。
僕の答え（１）１９/２８（２）A/C+B/D
（３）A=５、B=６、C=７、D=８で
値は４１/２８。
(2)A/C+B/D
分母はC*D､分子はA*D+B*C。分母は大きいほど小さくなるので、4つの数のうち大きい2つが分母。小さい2つのうち大きい方を最大の分母に対する分子とすればよい。
(3)〔5､6､7､8〕
ABを最大にする